探寻抛物线顶点的神秘公式
抛物线入门
我们从小学就学过抛物线这个概念，它是一种非常特殊的曲线。它不仅可以被用来构建天文馆的圆拱顶，还可以被广泛地应用在物理、数学等领域中。
抛物线的形态就像是一个弯曲的弹道，左右对称。它最基础的定义是“到一个点的距离与该点到对称轴的距离相等”，这个点就被称为顶点，如下图：
对于一个标准的抛物线，它可以用函数$y=ax^2+bx+c$来表示，其中，顶点$C$的横坐标为$x=-\\frac{b}{2a}$，和关于对称轴的距离为$|b^2-4ac|\\mathbin{/}4a$。
推导抛物线顶点公式
由于抛物线是一种非常特殊的曲线，我们很容易想到它有独特的性质和公式。现在，我们来推导一下抛物线顶点的公式。
对于一般形式的抛物线$y=ax^2+bx+c$，它的顶点一定满足如下条件：
$$y=ax^2+bx+c=a\\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(c-\\dfrac{b^2}{4a}\\right)$$公式右侧部分是一个常数，所以只有当x$=-\\frac{b}{2a}$时，y最小，也就是顶点坐标$(x_0,y_0)$。
$$\\begin{aligned} y_0&=a\\left(x_0+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(c-\\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\\\ &=a\\left(-\\dfrac{b}{2a}+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(c-\\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\\\ &=c-\\dfrac{b^2}{4a} \\end{aligned}$$得到了其纵坐标，接下来推导横坐标公式。
令$y_k=ax_k^2+bx_k+c$，接下来将抛物线公式化为顶点公式，得：
$$\\begin{aligned} y&=a\\left(x+\\dfrac{b}{2a}\\right)^2+\\left(c-\\dfrac{b^2}{4a}\\right)\\\\ &=a\\left(x-x_0\\right)^2+y_0 \\end{aligned}$$这样，我们就有了新的推导公式。
$$y_k=a\\left(x_k-x_0\\right)^2+y_0$$然后，将这个公式代入数学问题中，便可以迅速得到抛物线的顶点坐标。
应用实例
抛物线顶点公式有了，那么它有哪些应用实例呢？
在实际生活和工作中，我们经常会遇到要求确定一个行动轨迹的问题，而很多情况下这个轨迹就是一条抛物线，如投篮、运动轨迹、杆上摆的运动等等。
举个例子，假如要把一枚炮弹从离地100米、离目标200米处，打到一个高度为50米的点上，炮弹初始速度为$200m\\mathbin{/}s$，发射的仰角为$45^\\circ$，怎么确定发射炮弹的时刻与起始发射位置呢？
在这个问题中，我们根据物理公式可以求解出炮弹的运动轨迹为：
$$y=100+x\\tan45^\\circ-\\dfrac{9.81}{2x^2}\\cdot(\\dfrac{x}{\\cos45^\\circ})^2$$然后，再根据抛物线顶点公式，可以求出对应的最高点的横坐标$x_0$，从而可以轻松求出发射炮弹的时刻及起始位置。
可以发现，抛物线顶点公式在求解这类问题中非常常用，对于很多物理问题，可用该公式轻松求解。
总结
至此，我们已经讲解了抛物线顶点公式的相关知识，掌握这个公式不仅可以高效解决求抛物线的数学问题，还可以帮助我们有效解决实际生活和工作中的物理问题。
相信随着我们技术的不断进步，抛物线这个概念，在我们的日常和工作中将会被应用得越来越深入。